π 곡선: 영원히 닫히지 않는 선

곡선은 이렇게 그려집니다

중심을 기준으로 한 바퀴씩 도는 길이 1의 화살표를 떠올려 보세요. 그 끝에 같은 길이의 두 번째 화살표를 붙이고, k배 빠르게 돌립니다. 두 번째 화살표 끝이 그리는 자취가 곡선입니다. 복소수로 쓰면 다음과 같습니다.

k = π일 때가 바로 화제가 된 "닫히지 않는 선" 영상의 곡선입니다. k 값마다 다른 도형이 나오므로, 떠올릴 수 있는 어떤 수로든 같은 방식의 그림을 그릴 수 있습니다.

무리수는 왜 닫히지 않을까

그림이 출발점으로 돌아오려면 두 화살표가 동시에 정수 바퀴를 마쳐야 합니다. 첫 번째가 q바퀴, 두 번째가 p바퀴를 돈 순간이어야 하므로 k = p/q, 즉 분수여야 하지요. 그래서 유리수 비율은 유한한 꽃 모양으로 닫히고, π, e, √2, φ 같은 무리수는 절대 닫히지 않습니다. 시간이 지나면 곡선은 끝없이 감기며 반지름 0부터 2 사이의 고리 전체를 채우고, 이것이 만다라 같은 모습을 만듭니다.

π의 아슬아슬한 근접

π는 닫히지 않지만, 간단한 분수에 가까울 때마다 거의 닫힐 뻔합니다. 그 분수들이 π 연분수의 수렴값입니다.

그래서 7바퀴째에는 15개의 꽃잎을 가진 거의 닫힌 도형이 나타났다가 천천히 어긋나기 시작합니다. 113바퀴째에는 약 100분의 1도밖에 어긋나지 않는데, 5세기 중국 수학자 조충지가 찾은 355/113은 소수점 여섯째 자리까지 정확한 π 근삿값입니다. 도구의 +100바퀴 버튼으로 그 지점 가까이 건너뛰어 보세요.

유리수 비율과 대칭

기약분수 k = p/q이면 곡선은 정확히 q바퀴 뒤에 닫히고 |p − q|겹 회전 대칭을 가집니다. 22/7은 15겹 꽃을, 5/4는 4바퀴 뒤 닫히지만 회전 대칭이 전혀 없는 도형(|5 − 4| = 1)을, 355/113은 π 자체처럼 보일 만큼 촘촘한 242겹 도형을 만듭니다. 0.5, 2.5, −1.5처럼 원하는 분수를 소수로 입력해 보세요(음수는 두 번째 화살표를 반대로 돌립니다).

비율에서 소리로

음정은 주파수의 비율입니다. 두 음 재생을 누르면 지금 비율을 소리로 들을 수 있습니다. 3 : 2는 완전5도, 5 : 4는 장3도이고 둘 다 닫힌 안정된 도형을 그립니다. π 같은 무리수 비율은 두 음이 끝내 맞아떨어지지 않아 불안정하게 들리는데, 닫히지 않는 선을 귀로 듣는 셈입니다. 원 대신 서로 수직인 두 진동을 쓰면 클라드니 시뮬레이터의 리사주 도형이 되고, 가까운 조율 사이의 차이는 432Hz vs 440Hz에서 다룹니다.

자주 묻는 질문