핵심 요약
- π 곡선 z(θ) = e^(iθ) + e^(iπθ)는 π가 분수일 때만 닫히는데, π는 분수가 아니므로 선은 출발점으로 돌아오지 않습니다.
- π가 간단한 분수에 가까울 때 거의 닫힙니다. 7바퀴째(22/7), 그리고 훨씬 정확하게 113바퀴째(355/113)입니다.
- 유리수 비율 p/q는 항상 q바퀴 뒤에 닫히고 |p − q|겹 대칭을 가집니다.
- 황금비 φ는 "가장 무리수다운" 수라서 곡선이 근접을 피하며 가장 고르게 공간을 채웁니다.
- π 곡선 도구에서 직접 그려 보세요.
CymaVis 팀 · 수정일
곡선을 쉬운 말로
길이 1의 화살표를 한 점을 중심으로 한 바퀴씩 돌린다고 해 봅시다. 그 끝에 같은 길이의 두 번째 화살표를 달고 π배 빠르게 돌립니다. 두 번째 화살표 끝을 따라가면 "영원히 닫히지 않는 선"으로 화제가 된 도형이 나옵니다.
각 항은 복소평면에서 도는 단위 화살표이고, θ는 첫 번째 화살표의 각도입니다.
π 대신 다른 수 k를 넣으면 다른 도형이 나옵니다. 속도 비율 k라는 다이얼 하나로 하트 모양 고리부터 빽빽한 만다라까지 오갈 수 있습니다.
곡선은 언제 닫힐까?
그림이 출발점으로 돌아오려면 두 화살표가 모두 처음 가리키던 방향을 정확히 가리켜야 합니다. 첫 번째 화살표는 한 바퀴마다, 두 번째는 자기 기준으로 정수 바퀴마다 그렇게 됩니다. 첫 번째가 q바퀴 도는 동안 두 번째가 정수 p바퀴를 돌아야 둘이 함께 맞아떨어지므로, k = p/q일 때만 가능합니다.
그래서 모든 분수는 닫힌 곡선을, 모든 무리수는 닫히지 않는 곡선을 만듭니다. π가 무리수라는 것은 1761년 요한 람베르트가(초월수라는 것은 1882년 페르디난트 폰 린데만이) 증명했으므로, π 곡선은 반복하지 않고 영원히 이어진다는 것이 보장됩니다.
아슬아슬한 근접: 22/7과 355/113
무리수도 분수에 아주 가까울 수는 있습니다. 가장 좋은 분수는 연분수에서 나오며, π의 경우 3, 22/7, 333/106, 355/113… 입니다.
- 7바퀴 뒤 두 번째 화살표는 7π ≈ 21.991바퀴를 돌았습니다. 22바퀴에 0.009바퀴 모자라지요. 곡선은 15겹 꽃(22 − 7 = 15)으로 거의 닫혔다가 조금씩 어긋나기 시작합니다.
- 113바퀴 뒤에는 113π ≈ 354.99997바퀴로, 355바퀴에 0.00003바퀴만 모자랍니다. 어긋남은 약 100분의 1도로, 보통 배율에서는 보이지 않습니다.
분수 355/113은 5세기 중국 수학자 조충지가 찾아냈고, 소수점 여섯째 자리(3.141592…)까지 π와 일치합니다. 아르키메데스는 그보다 앞선 기원전 3세기에 π가 223/71과 22/7 사이에 있음을 보였습니다.
π 곡선 도구에서 π를 고르고 +100바퀴를 누르면 113바퀴 근접 직전으로 바로 건너뜁니다.
닫힌 꽃: 유리수 비율
기약분수 p/q이면 곡선은 정확히 q바퀴 뒤에 닫히고 |p − q|겹 회전 대칭을 가집니다. 몇 가지 예를 보면 다음과 같습니다.
- k = 2: 한 바퀴 뒤 닫히고 1겹 대칭 — 심장형 비슷한 고리.
- k = 3 : 2: 2바퀴 뒤 닫힘 — 음악의 완전5도.
- k = 22/7: 7바퀴 뒤 닫히며 꽃잎 15장.
- k = −1: 두 화살표가 번갈아 상쇄되고 보강되며 직선을 그림.
음수 비율은 두 번째 화살표를 반대로 돌려, 둥근 고리 대신 뾰족한 별 모양을 만듭니다. −2나 −3을 넣어 보세요.
황금비가 "가장 무리수다운" 수인 이유
어떤 수가 분수로 얼마나 잘 근사되는지는 연분수에 담겨 있습니다. 항이 크면 바로 근처에 훌륭한 분수가 있다는 뜻입니다. π = [3; 7, 15, 1, 292, …]인데, 저 커다란 292 덕분에 355/113이 그토록 정확합니다.
황금비 φ = (1 + √5)/2의 연분수는 [1; 1, 1, 1, …]로, 가능한 가장 작은 항인 1로만 이루어져 있습니다. 가장 좋은 분수들은 피보나치 수의 비(3/2, 5/3, 8/5, 13/8 …)이고, 각각은 이전보다 조금씩만 나아집니다. 정확한 의미에서 φ는 근사하기 가장 어려운 수이고, 그래서 곡선에 극적인 근접이 없으며 고리 전체에 가장 고르게 퍼집니다.
식물이 잎과 씨앗을 흔히 황금각(약 137.5°) 간격으로 배치하는 것도 같은 성질 때문입니다. 줄지어 겹치는 것을 피해 해바라기 머리에 씨앗을 고르게 채워 넣지요.
소리와의 연결
어떤 비율로 도는 두 원은 어떤 주파수 비율로 진동하는 두 진동의 원형 버전입니다. 음정은 옥타브 2 : 1, 완전5도 3 : 2처럼 간단한 비율이라 닫히고 안정된 곡선을 그립니다. 무리수 비율은 절대 맞아떨어지지 않고, 그런 비율의 두 음도 반복되는 패턴으로 자리 잡지 않습니다.
클라드니 시뮬레이터의 리사주 도형, 그리고 음정을 곡선으로 바꿔 그리던 19세기 진자 그림 기계인 하모노그래프도 같은 물리입니다. π 곡선 도구에서는 두 음 재생을 눌러 지금 그리는 비율을 들어 볼 수 있습니다.
자주 묻는 질문
π 곡선은 언젠가 반복되나요?
아닙니다. π가 무리수라서 두 화살표가 같은 순간에 정수 바퀴를 마치는 일이 없고, 곡선은 정확한 출발점으로 돌아오거나 반복되지 않습니다.
π 곡선이 7바퀴 뒤에 거의 닫혀 보이는 이유는?
π ≈ 22/7이기 때문입니다. 7바퀴 뒤 두 번째 화살표는 약 21.99바퀴를 돌아 닫힘까지 0.009바퀴만 모자랍니다.
가장 무리수다운 수는 무엇인가요?
황금비 φ ≈ 1.618입니다. 연분수가 모두 1로 이루어져 분수로 근사하기 가장 어렵습니다.
다른 수로도 이런 곡선을 만들 수 있나요?
네. 어떤 비율이든 됩니다. 분수는 대칭인 꽃으로 닫히고, e나 √2 같은 무리수는 닫히지 않는 만다라를 만듭니다.